Björn Kleiman besuchte das Royal College of Music in Lon-don und hatte Unterricht bei Professorin Dona Lee Croft. 2002 schloss er sein Studium zum „Bachelor of Music“ ab. Im selben Jahr wurde Björn Kleiman in der Geigenklasse von Professor Ulf Hoelscher an der Hochschule für Musik in Karlsruhe aufgenommen und examinierte im Sommer 2004 als Diplom – Musiker.

Björn Kleiman nahm auch an Meisterkursen bei Lewis Kaplan, Bela Kantona, Hugh Bean und Benjamin Schmid teil. Er hat schon mehrere Stipendien bekommen, u. A. ein Stipendium von „Konstnärsnämnden“ (Swedish Arts Grants Committee) und “Byggnads“, das ihm von dem damaligen schwedischen Premierminister Göran Persson überreicht wurde.

Außerhalb des klassischen Repertoires hat Björn Kleiman großes Interesse an neuer Musik und spielte im Jahr 2007 eine CD mit zeitgenössischer Musik von jungen Schwedischen Komponisten unter dem Label C-Y Contemporary ein. Auf der CD – Dr Caligari – sind Werke für Solovioline sowie Violine mit Klavier und Computer.

Björn Kleiman tritt regelmäßig in Schweden, England, Deutschland und Frankreich auf. Auch im englischen und deutschen Fernsehen war er ebenfalls schon zu sehen.

Björn arbeitet häufig mit den Pianisten Simon Lepper und Martin Sturfält zusammen, mit dem er einen Plattenvertrag mit der Deutschen Firma Thorofon für eine Gesamtaufnahme der Werke für Geige und Klavier des Deutschen Komponisten Harald Genzmer (1909-2007) unterzeichnet hat. Die CD wird im Frühjahr 2010 erscheinen.