Björn Kleiman började spela violin vid tidig ålder, var samtidigt medlem i Stockholms Gosskör och gick sedan i Adolf Fredriks Musikklasser. Efter studentexamen vid Östra Reals Gymnasium antogs Björn till anrika Royal College of Music i London, där han studerade för Dona Lee Croft. Björn har deltagit i master classes för bl.a. Benjamin Schmid, Lewis Kaplan, Bela Kantona och Hugh Bean och tog sin examen (BMus Hons) i London 2002. Därefter följde två års studier vid Hochschule für Musik (Diplom-Musiker) i Karlsruhe, Tyskland, för Prof. Ulf Hoelscher och hans assistent Karl-Heinz Schultz.

Förutom regelbundna konsertframträdanden i Sverige, England, Tyskland och Frankrike har Björn medverkat i både tysk och engelsk TV. Han har även tilldelats stipendier av bl. a. Konstnärsnämnden och H. Ax:son Johnsons stiftelse samt mottagit Byggnads' kulturstipendium i Sagerska Palatset av dåvarande statsminister Göran Persson.

Vid sidan om den klassiska repertoaren ägnar sig Björn gärna åt ny musik och spelade 2007 in en CD på skivbolaget C-Y Contemporary med nutida musik av svenska tonsättare som Mats Larsson Gothe, Albert Schnelzer, Stefan Klaverdal, Benjamin Staern och Daniel Hjorth. Skivan har fått mycket goda recensioner i både svensk och utländsk press och spelats i flera europeiska radiokanaler däribland SR P2, Latvijas Radio 3 Klasika, BBC Radio 3 samt i USA.

Björn samarbetar också med pianisterna Simon Lepper och Martin Sturfält. Tillsammans med Martin Sturfält har Björn påbörjat inspelningen av samliga verk för violin och piano av Harald Genzmer. Denna dubbel-CD utkommer på skivbolaget Thorofon under våren 2010.