Björn Kleiman började spela violin vid tidig ålder, var samtidigt medlem i Stockholms Gosskör och gick sedan i Adolf Fredriks Musikklasser. Efter studentexamen vid Östra Reals Gymnasium antogs Björn till anrika Royal College of Music i London, där han studerade för Dona Lee Croft. Björn har deltagit i master classes för bl.a. Benjamin Schmid, Lewis Kaplan, Bela Kantona och Hugh Bean och tog sin examen (BMus Hons) i London 2002. Därefter följde två års studier vid Hochschule für Musik (Diplom-Musiker) i Karlsruhe, Tyskland, för Prof. Ulf Hoelscher och hans assistent Karl-Heinz Schultz.

Förutom regelbundna konsertframträdanden i Sverige, England, Tyskland och Frankrike har Björn medverkat i både tysk och engelsk TV. Han har även tilldelats stipendier av bl. a. Konstnärsnämnden och H. Ax:son Johnsons stiftelse samt mottagit Byggnads' kulturstipendium i Sagerska Palatset av dåvarande statsminister Göran Persson.

Vid sidan om den klassiska repertoaren ägnar sig Björn gärna åt ny musik och spelade 2007 in en CD på skivbolaget C-Y Contemporary med nutida musik av svenska tonsättare som Mats Larsson Gothe, Albert Schnelzer, Stefan Klaverdal, Benjamin Staern och Daniel Hjorth. Skivan har fått mycket goda recensioner i både svensk och utländsk press och spelats i flera europeiska radiokanaler däribland SR P2, Latvijas Radio 3 Klasika, BBC Radio 3 samt i USA.

Björn samarbetar också med pianisterna Sholto Kynoch och Martin Sturfält. Tillsammans med Martin Sturfält har Björn gästspelat på Villa San Michele på Capri samt spelat in samtliga verk för violin och piano av Harald Genzmer. Denna dubbel-CD utkom på skivbolaget Thorofon under hösten 2010.

Björn Kleiman har också sen ett antal år en duo tillsammans med den Londonbaserade gitarristen Nils Klöfver. 2009 utkom duons första CD på det engelska skivbolaget Nota Bene med musik av bl a Händel, Aulin och Iannarelli. Skivan har fått lysande recensioner i såväl svensk som internationell press. Under 2011 framträder duon bl a på Newbury Spring Festival och på National Portrait Gallery i London samt turnérar både i Tyskland och Frankrike. Sen flera år tillbaka genomför duon också en mycket uppskattad sommarturné i Sverige från Skåne i söder till Dalarna i norr.