Björn Kleiman commence le violon très jeune et est aussi actif dans le choeur des garçons de Stockholm. Il suit les cours de l’école de musique d’Adolf Fredrik. En 1999, Björn est admis à Royal College of Music à Londres où il suit les cours de Dona Lee Croft. Björn continue par les Cours de Master avec, entre autres, Benjamin Schmid, Lewis Kaplan, Bela Kantona et Hugh Bean. En 2002, il passe son examen (BMus Hons) de Royal College of Music. Il continue ses études deux ans à Hochschule für Musik (Diplom-Musiker) à Karlsruhe en Allemagne avec le Professeur Ulf Hoelscher.

En outre les concerts en Suède, Angleterre, Allemagne, France et Suisse, Björn paraît aussi à Ia television allemande et anglaise. Björn a reçu des bourses de Konstnärsnämnden, H. Axson Johnsons stiftelse et Byggnads kuIturstipendium, remit par le premier ministre de Ia Suède, Göran Persson.

À côte du répertoire classique, Björn se consacre, avec plaisir, à Ia musique nouvelle. En 2006 Björn enregistre un nouveau disque pour le label C-Y Contemporary avec Ia musique contemporaine composée par des compositeurs comme Mats Larsson Goethe, Albert Schnelzer, Stefan Klaverdal, Benjamin Staern et Daniel Hjort.

Björn Kleiman travaille en collaboration avec les pianistes Simon Lepper et Martin Sturfält. Björn et Martin Sturfält ont ensemble assemblé la compilation complète de l’enregistrement pour violon et piano de Harald Genzmer. Ce double CD sortira sous la production de Thorofon au printemps 2010.